แฟ้มสะสมงานออนไลน์: คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์พื้นฐาน

สถิติและข้อมูล
สถิติ หมายถึง ศาสตร์ที่นำมากระทำกับหลักฐานที่เป็นข้อมูลซึ่งอาจจะเป็นข้อมูลเชิงปริมาณหรือเชิงคุณภาพ โดยมีวิธีการกระทำได้แก่ การเก็บรวบรวมข้อมูล การนำเสนอข้อมูล การวิเคราะห์โดยใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ และการนำผลการวิเคราะห์มาสรุป
ประเภทของสถิติศาสตร์ แบ่งได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ ๆ ได้แก่
1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) เป็นสถิติที่บรรยายถึงคุณลักษณะของสิ่งที่กำลังต้องการศึกษา ;ว่าด้วยการสรุปข้อมูลแต่ละชุดที่เราสนใจ ค่าวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลาง (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต , มัธยฐาน , ฐานนิยม) ค่าวัดการกระจายข้อมูล ( ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน, พิสัย)
2. สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) เป็นสถิติที่ศึกษาข้อมูลที่เป็นกลุ่มตัวอย่างเพียงกลุ่มเดียว จากข้อมูลของประชากรทั้งหมด

ศัพท์ที่เกี่ยวข้องกับสถิติ
1. ประชากร (population) หมายถึง กลุ่มที่มีลักษณะที่เราสนใจ หรือกลุ่มที่เราต้องการจะศึกษาหาข้อมูลที่เกี่ยวข้อง เปรียบเหมือนเอกภพสัมพัทธ์ในเรื่องเซต
2. กลุ่มตัวอย่าง (sample) หมายถึง ส่วนหนึ่งของกลุ่มประชากรที่เราสนใจ ในกรณีที่กลุ่มประชากรที่จะศึกษานั้นเป็นกลุ่มขนาดใหญ่ เกินความสามารถหรือความจำเป็นที่ต้องการ หรือเพื่อประหยัดในด้านงบประมาณและเวลา สามารถศึกษาข้อมูลเพียงบางส่วนของกลุ่มประชากรได้
3. ค่าพารามิเตอร์ หมายถึง ค่าต่างๆที่คำนวณมาจากกลุ่มประชากร จะถือเป็นค่าคงตัว กล่าวคือ คำนวณกี่ครั้งๆก็จะไม่เปลี่ยนแปลง
4. ค่าสถิต หมายถึง ค่าต่างๆที่คำนวณมาจากกลุ่มตัวอย่าง จะเป็นค่าที่เปลี่ยนแปลงได้ตจามกลุ่มตัวอย่างที่เลือกสุ่มมา จึงถือว่าเป็นค่าตัวแปรสุ่ม
5. ตัวแปร ในทางสถิติ หมายถึง ลักษณะบางอย่างที่เราสนใจ ค่าของตัวแปร อาจอยู่ในรูปข้อความ หรือตัวเลขก็ได้
6. ค่าที่เป็นไปได้ หมายถึง ค่าของตัวแปรที่อาจจะเกิดขึ้นได้จริง
7. ค่าจากการสังเกต หมายถึง ค่าที่เก็บรวบรวมได้มาจริงๆ

ข้อมูลและการเก็บรวบรวมข้อมูล
ข้อมูล หมายถึง ข้อเท็จจริงของสิ่งต่างๆที่อยู่รอบตัวเรา ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ สถานที่ต่าง ๆ ธรรมชาติทั่วไป
ประเภทของข้อมูลอาจแบ่งออกได้หลายประเภทดังต่อไปนี้
1. แบ่งประเภทข้อมูลตามวิธีการเก็บรวบรวมข้อมูล สามารถแบ่งออกได้เป็น 2 ประเภท
1.1 ข้อมูลปฐมภูมิ (Primary Data) หมายถึง ข้อมูลที่ผู้ใช้เป็นผู้เก็บรวบรวมข้อมูล ขึ้นเอง เช่น การเก็บแบบสอบถาม การทดลองในห้องทดลอง
1.2 ข้อมูลทุติยภูมิ (Second Data) หมายถึง ข้อมูลที่ผู้ใช้นำมาจากหน่วยงานอื่น หรือผู้อื่นที่ได้ทำการเก็บรวบรวมมาแล้วในอดีต เช่น รายงานประจำปีของหน่วยงานต่างๆ ข้อมูลท้องถิ่นซึ่งแต่ละอบต.เป็นผู้รวบรวมไว้ ฯลฯ
2. แบ่งประเภทข้อมูลตามระดับการวัด สามารถแบ่งออกได้เป็น 4 ประเภท
2.1 ข้อมูลระดับนามบัญญัติ (Nominal Scale) หมายถึง ข้อมูลที่แบ่งเป็นกลุ่มเป็นพวก เช่น เพศ อาชีพ ศาสนา ผิวสี ฯลฯ ไม่สามารถนำมาจัดลำดับ หรือนำมาคำนวณได้
2.2 ข้อมูลระดับอันดับ (Ordinal Scale) หมายถึง ข้อมูลที่สามารถแบ่งเป็นกลุ่มได้ แล้วยังสามารถบอกอันดับที่ของความแตกต่างได้ แต่ไม่สามารถบอกระยะห่างของอันดับที่แน่นนอนได้ หรือไม่สามารถเปรียบเทียบได้ว่าอันดับที่จัดนั้นมีความแตกต่างกันของระยะห่างเท่าใด เช่น อันดับที่ของการสอบของนักศึกษา อันดับที่ของผู้เข้าประกวดนางสาวไทย ฯลฯ
2.3 ข้อมูลระดับอันตรภาค (Interval Scale) หมายถึง ข้อมูลที่มีช่วงห่าง หรือระยะห่างเท่าๆกัน สามารถวัดค่าได้แต่เป็นข้อมูลที่ไม่มีศูนย์แท้ เช่น อุณหภูมิ คะแนนสอบ ระดับผลการเรียน ฯลฯ
2.4 ข้อมูลระดับอัตราส่วน (Ratio Scale) หมายถึง ข้อมูลที่มีมาตราวัดหรือระดับการวัดที่สูงที่สุด คือ นอกจากสามารถแบ่งกลุ่มได้ จัดอันดับได้ มีช่วงห่างของข้อมูลเท่าๆกันแล้ว ยังเป็นข้อมูลที่มีศูนย์แท้ เช่น น้ำหนัก ส่วนสูง ระยะทาง รายได้ จำนวนต่างๆ ฯลฯ
3. แบ่งประเภทข้อมูลตามลักษณะของข้อมูล สามารถแบ่งได้ 2 ประเภทดังนี้
3.1 ข้อมูลเชิงปริมาณ คือ ข้อมูลที่เป็นตัวเลขที่ใช้แทนขนาดหรือปริมาณที่วัดออกมา สามารถนำมาเปรียบเทียบข้อมูลได้ เช่นอายุ ส่วนสูง น้ำหนัก รายได้ ฯลฯ
3.2 ข้อมูลเชิงคุณภาพ คือ ข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นจำนวนได้แต่อธิบายลักษณะของข้อมูลนั้น ๆ เช่น เพศ ระดับการศึกษา ฯลฯ

อ้างอิง : https://krunana.wordpress.com/

คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

อนุพันธ์

อนุพันธ์ :: สูตร

ถ้ายกตัวอย่างฟังก์ชันมาสักตัวหนึ่งคือ $f(x) = {x^2}$ การหาอนุพันธ์ที่จุด x สักค่าหนึ่งเช่น x = 1 ทำได้โดยใช้นิยาม โดยการแทนค่า x และฟังก์ชันลงไปในสูตร

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$

เราจะได้

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(1 + h)}^2} - {1^2}}}{h}$

เมื่อกระจายกำลังสองและจัดการลบกันให้เสร็จเรียบร้อยจะกลายเป็น

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{2h + {h^2}}}{h}$

จากเรื่องลิมิต การหาลิมิตที่ $h \to 0$ แปลว่าในขณะนั้น h ไม่เท่ากับ 0 แค่มีค่าอยู่รอบๆจุด 0 และในเมื่อมันไม่เท่ากับ 0 จึงสามารถใช้เป็นตัวหารได้ และถ้ามีเศษและส่วนที่หน้าตาเหมือนกัน ก็เอาไปตัดกันได้ จากบรรทัดบน เราจึงใช้ h ตัดกันจนเกือบหมด เหลือแค่

$f'(1) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 2 + h = 2$

ก็จะได้ว่าลิมิตมีค่าเท่ากับ 2 แปลตามความหมายของอนุพันธ์ได้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน $f(x) = {x^2}$ ที่ตำแหน่ง x เป็น 1 นั้นมีค่าเท่ากับ 2 ส่วนความหมายแบบเรขาคณิตจะบอกว่า ความชันของกราฟ $y = {x^2}$ ที่จุด x = 1 มีค่า 2 หน่วย แต่เป็นความชันกราฟที่ผ่านจุด x = 1 จุดเดียว ไม่ใช่สองจุดแบบที่เคยทำกันในวิชาเรขาคณิต

ถ้าลองทำตามกระบวนการข้างบนอีกครั้ง คราวนี้ไม่ได้แทนตัวเลข 1 ลงไป แต่ติดไว้เป็นตัว x อย่างนั้น เราจะพบว่า

$f'(x) = 2x$

แปลว่าความชันของกราฟ $y = {x^2}$

การหาอนุพันธ์สามารถใช้นิยาม (สูตรของ f’(x)) ทุกครั้งก็ได้ แต่ไม่ค่อยมีใครขยันคำนวณกัน เพราะต้องมานั่งหาลิมิตซึ่งเป็นเรื่องยุ่งพอสมควร วิธีที่ง่ายกว่าคือ คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ใช้บ่อยๆเก็บไว้ พอเจอที่ไหนอีกก็ใช้ค่าที่คำนวณไว้แล้วได้เลย

ฟังก์ชันค่าคงที่ อนุพันธ์ = 0 เพราะชื่อก็บอกอยู่แล้วว่าเป็นค่าคงที่ ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

$\frac{{d(c)}}{{dx}} = 0$ เมื่อ c เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันเส้นตรง อนุพันธ์ = ความชันของเส้นตรง และมีค่าสม่ำเสมอเท่ากันทุกๆที่ เพราะเส้นตรงมีความชันเท่ากันทั้งเส้น

$\frac{{d(kx)}}{{dx}} = k$ เมื่อ k เป็นค่าคงที่

ฟังก์ชันอื่นๆที่ไม่ใช่ค่าคงที่หรือเส้นตรง อนุพันธ์จะเปลี่ยนไปเรื่อยๆขึ้นอยู่กับค่า x ไม่ได้เป็นตัวเลขเดี่ยวๆเหมือนสองชนิดแรก

ฟังก์ชันเอกนาม อนุพันธ์ = เลขชี้กำลังเดิม คูณกับฟังก์ชันเดิมที่ลงเลขชี้กำลังลงมาหนึ่ง

$\frac{{d({x^n})}}{{dx}} = n{x^{n - 1}}$

ถ้ามีหลายฟังก์ชันมาบวกลบกัน อนุพันธ์สามารถกระจายเข้าไปในการบวกลบนั้นได้ หรือถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่กับฟังก์ชันอะไร ก็ดึงค่าคงที่นั้นออกมาก่อนที่จะหาอนุพันธ์ก็ได้ แต่ถ้าเป็นฟังก์ชันที่คูณหรือหารกันจะกระจายตรงๆไม่ได้ ต้องทำตามสูตรคำนวณของมัน

$\frac{{d(f(x) \pm g(x))}}{{dx}} = \frac{{d(f(x))}}{{dx}} \pm \frac{{d(g(x))}}{{dx}}$

$\frac{{d(kf(x))}}{{dx}} = k\frac{{d(f(x))}}{{dx}}$

เพื่อความกะทัดรัด ขอเขียนอนุพันธ์ด้วยเครื่องหมาย ‘ ก็แล้วกัน

$(f(x) \cdot g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$

เราท่องกันว่า ดิฟผลคูณเท่ากับ หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า

$\left( {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right)' = \frac{{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}}{{{g^2}(x)}}$

เราท่องว่า ดิฟผลหารเท่ากับ ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างกำลังสอง

สูตรทั้งหมดที่ให้มานี้ครอบคลุมการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพหุนามทุกแบบ และการคูณหารพหุนามเท่าที่จะเป็นไปได้ ที่จริงฟังก์ชันทุกชนิดที่เราเคยเรียนมา (expo, log, sin, cos, tan ฯลฯ) สามารถหาอนุพันธ์ได้หมดเลย ซึ่งก็จะมีสูตรคำนวณต่างกันไป แต่ในชั้นม.ปลาย แค่ฟังก์ชันพหุนามอย่างเดียวก็เยอะแล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันอื่นโผล่มาให้เห็น

อ้างอิง: https://fltsolver.wordpress.com/tag/อนุพันธ์/